НОК и фазирование: почему петли разной длины не повторяются

Зачем это

В прошлом уроке мы научились задавать длину петли любым числом. Теперь выясним, зачем: от длин зависит, когда петли снова сойдутся в одной точке и повторят то, что уже звучало.

Послушайте две копии одной фразы. У рояля петля 8 долей, у колокольчика 8,5 доли. В начале они звучат вместе, потом колокольчик понемногу отстаёт: сначала возникает эхо, потом фраза превращается в канон, потом они расходятся ещё сильнее.

Такое медленное расхождение называют фазированием (phasing). Полностью две эти петли снова совпадут через 136 долей, то есть через 2 минуты 16 секунд. А если разница ещё меньше, ждать придётся гораздо дольше: у петель 16 и 16,25 доли общий круг равен 1040 долям, то есть 17 минут 20 секунд.

Чтобы выбирать длины осознанно, а не наугад, нужна одна арифметическая идея: наименьшее общее кратное.

Теория простыми словами

НОК (наименьшее общее кратное) двух чисел — первое число, которое делится на оба. Для длин петель это момент, когда обе петли одновременно оказываются в своём начале. Примеры: для 3 и 4 тактов НОК равен 12 тактам; для 3, 4 и 5 тактов — 60 тактам. При 60 BPM 60 тактов — это 240 секунд, то есть 4 минуты.

Ловушка перемножения. Многие думают, что для 4 и 6 тактов нужно умножить: 4 × 6 = 24. Но петли сойдутся уже через 12 тактов: 12 делится и на 4, и на 6. Дело в общем делителе 2: он «съедает» половину ожидаемого времени. Перемножение даёт верный ответ, только если общих делителей нет.

Взаимно простые числа (coprime) — числа, у которых единственный общий делитель равен 1. Для таких длин НОК равен произведению: 17 и 19 дают 323, а 21 и 25 дают 525. Для максимальной вариативности подходят именно такие длины, причём попарно, если петель больше двух. Простыми числами они быть не обязаны: 21 = 3 × 7 и 25 = 5 × 5, но общих делителей у них нет.

Обратное тоже верно: общий делитель длину не запрещает. Пара 63 и 69 делится на 3, и всё же НОК равен 1449. Важно одно правило: НОК длин должен быть больше длины записи. Если пьеса звучит 10 минут, а петли сходятся через 20, никто не услышит повтор.

Проверим на больших числах. Длины 17, 19, 23 и 29 долей при 60 BPM дают НОК = 17 × 19 × 23 × 29 = 215 441 доля, а это 215 441 секунда, около 60 часов (секунды равны долям только при 60 BPM). Полного повторения за время любой пьесы не наступит.

Полиритмия (polyrhythm) — одновременное звучание разных делений времени, например 3 удара против 4 в одном такте. Триоль (triplet) — три равные ноты на место двух. Принцип тот же, что у фазирования: два счёта не складываются в общий. Разница в масштабе: полиритмия живёт внутри такта, а асинхронные петли — это то же самое на длинах в десятки секунд.

Где в Live и на Push 2

Session View: индикаторы позиции петли

В Session View каждый играющий клип показывает круговой индикатор: по нему видно, в какой части петли находится клип прямо сейчас. Когда у вас три клипа разной длины, по индикаторам хорошо видно, кто где.

Увеличить

1. 1Кнопка запуска клипа — зелёный треугольник, клип играет
2. 2Имя клипа с длиной — C3 3.0.0, G2 4.0.0, D3 5.0.0
3. 3Индикатор петли — кружок позиции; число справа — длина петли в долях (12, 16, 20)

Триольная сетка

Для упражнения с полиритмией нужна триольная сетка: Ctrl+3 (Mac: Cmd+3) в Piano Roll. Строить полиритмию в ambient мы не будем, это упражнение нужно для слуха.

Увеличить

1. 11. Нота на первой доле
2. 22. Вторая нота — через 4/3 доли
3. 33. Третья — через 8/3 доли, затем петля

На Push 2

Запускать клипы и сцены в Session mode можно пэдами Push 2: это удобно, когда нужно включить разные петли в нужный момент и следить за ними на экране компьютера.

Увеличить

Если у вас появится MIDI-клавиатура, задания урока переносятся на неё без изменений. Сами клипы запускает Push 2 или мышь.

Делаем вместе

Темп 60 BPM. Рабочие тембры: рояль (Grand Piano) и Drift, чтобы петли различались на слух.

Практика 1. Полиритмия 3 на 4

Мы собрали это заранее: колокольчик играет три ноты на такт, рояль четыре.

Теперь растянем идею. Если взять клип А длиной 3 такта, а клип Б длиной 4 такта, и в каждом по одной ноте в начале, отношение 3 к 4 сохранится, но звучать будет уже не ритм, а медленная пульсация. Вместе ноты сходятся каждые 12 тактов (48 секунд при 60 BPM).

Практика 2. Ловушка: 4 и 6 тактов

Возьмите те же дорожки, но длины 4 и 6 тактов. По неверному правилу «умножить» ноты должны сойтись через 24 такта (96 секунд). По НОК это 12 тактов (48 секунд). Послушайте: в записи обе ноты звучат вместе на 48-й секунде.

Практика 3. Фазирование: 4.0.0 и 4.0.1

Полностью три минуты слушать на уроке незачем, они в записи. Вторая запись показывает пару 4.0.0 и 4.1.0.

Практика 4. Три клипа и расчёт НОК

Клипы длиной 3, 4 и 5 тактов. НОК = 60 тактов = 240 секунд (4 минуты). Слушать четыре минуты до полного совпадения не нужно: проверьте на слух только пару 3 и 4 тактов (она совпадает через 48 секунд), а остальное доверьте расчёту.

Контрольная точка

Включите в Session View клипы 4.0.0 и 4.0.1 и понаблюдайте за индикаторами позиции. Первые минуты индикаторы почти рядом, потом один начинает отставать от другого. Если у вас то же самое, фазирование работает.

Комбинаторика

Готовые связки

Послушайте три из них. «Далёкие соседи»: три тембра, три длины.

«Узнаваемая рамка»: пэд держит ровную опору 4 такта, а две петли с простыми длинами движутся поверх неё.

Коридоры значений

Красную зону последней строки стоит услышать: те же длины 17, 19 и 23, но у всех одинаковый тембр и одна нота. Сравните с «Далёкими соседями».

Порядок решений

1. Решите, сколько петель (от 3 до 7).
2. Выберите длины, попарно взаимно простые.
3. Посчитайте НОК и проверьте, что он больше длины пьесы.
4. Расставьте ноты внутри петель.
5. Выберите тембры.

Не трогайте пока

Follow Actions, случайность нот (Note Chance), огибающие и LFO несвязанной длины. Эти инструменты появятся в следующих уроках, а пока мы строим систему только на длинах.

Слушаем мастеров

Ошибки новичков

Советы тренера Ableton

Итог

НОК показывает, когда петли снова сойдутся. Взаимно простые длины откладывают это на очень долгое время, а общий делитель сокращает ожидание. Фазирование — это медленное расхождение почти равных петель, полиритмия — разные деления времени внутри одного отрезка. Дальше мы возьмём эти длины в руки и разберём, как Eno складывал их на ленте в «Music for Airports», а затем добавим к ним правила и случайность.